Narodil sa vo Zvolene ako syn známeho organizátora robotníckych spevokolov Jána Klima. V roku 1923 sa jeho rodičia presťahovali do Bratislavy. Od roku 1926 sa začal učiť hrať na klavíri u prof. Maschkovej. V r. 1938 maturoval na Štátnom reálnom gymnáziu. Od chlapčenských rokov sa zúčastňoval na práci spevokolu Tatran a už ako 15-ročný zastupoval dirigenta A. Deršáka. Od r. 1938 pokračoval v štúdiu hry na klavíri u B. Jelínka. Na otcovu žiadosť vyštudoval právo. V rokoch 1946–1951 dirigoval spevokol Tatran. V rokoch 1955–1958 pripojil k právnickému vzdelaniu štúdium zborového dirigovania na VŠMU u prof. Strelca a prof. J. Haluzického.
V sezóne 1951-1952 sa začala jeho vyše 30-ročná umelecká činnosť v súbore Lúčnica, ktorá trvala až do roku 1983. Spevácky zbor sa pod jeho vedením osvedčil v interpretácii pôvodnej, folklórom inšpirovanej a súčasnej zborovej tvorby. Zameral sa aj na prednes vokálnej polyfónie. Logickým výsledkom tohto umeleckého smerovania bola účasť a ocenenia speváckeho zboru Lúčnice na domácich a zahraničných súťažiach. Týmito cenami sa zbor zaradil medzi najvýznamnejšie telesá v kontexte európskeho a svetového zborového umenia. K tomu prispeli zájazdy do európskych štátov, ale aj do USA a do Japonska. Pod vedením Štefana Klima nahral zbor Lúčnice okolo 250 vokálnych skladieb pre Československý rozhlas.
Po odchode z Lúčnice dirigoval Slovenský filharmonický zbor (1982–1985) a v rokoch 1983–1989 spevácky zbor SĽUK-u. Pôsobil v porotách na domácich a medzinárodných súťažiach speváckych zborov, viedol poradné orgány pre zbory v Československu a v zahraničí. Dôležitou súčasťou jeho pôsobenia ako umeleckého vedúceho a zbormajstra speváckeho zboru Lúčnice bola aj cieľavedomá dramaturgická činnosť. Vyhľadával poéziu, ktorú následne ponúkal na hudobné spracovanie najvýznamnejším slovenským a českým hudobným skladateľom.
Dr. Štefan Klimo je jednou z najvýznamnejších osobností slovenskej hudobnej kultúry.
Hommage a Štefan Klimo
Slávnostný koncert Hommage à Štefan Klimo sa uskutočnil 6. decembra 2009 vo Veľkom koncertnom štúdiu Slovenského rozhlasu v Bratislave. Umelecký súbor Lúčnica, ako hlavný usporiadateľ tohto projektu, si v spolupráci so Slovenským rozhlasom týmto koncertom pripomenuli nedožité 90. výročie narodenia jednej z najvýznamnejších osobností zborového diania nielen na Slovensku ale i v zahraničí dr. Štefana Klima.
V prvej časti zazneli koncertu a cappella skladby, ktoré sú dodnes súčasťou repertoáru speváckeho zboru a ktorými sa zbor pravidelne prezentuje na medzinárodných súťažiach, ako i skladby z autorskej dielne Štefana Klima – Trávnice pre ženský zbor a Za tou mojou milou pre mužský zbor, ktoré zaspievali súčasní členovia zboru spolu s predošlými generáciami členov speváckeho zboru Lúčnica. V druhej časti koncertu zaznelo dielo skladateľa Georgiusa Zruneka Missa prima pro Festis Natalitiis, ktoré pre tento večer zaranžoval Peter Jantoščiak. Spoluúčinkoval orchester Zlaté husle a sólisti Ján Babjak a Juraj Peter. Koncert dirigovala umelecká vedúca a dirigentka speváckeho zboru Lúčnica Elena Matušová.
